بررسی تقارن های ریسمان پولیاکوف در فرمولبندی هامیلتونی

در سال های اخیر مطالعه و بررسی سیستم های دارای نظریه های پیمانه ای بسیار مورد توجه فیزیکدانان نظری قرار گرفته است. تقارن این سیستم ها ناشی از تبدیلاتی می باشد که کنش سیستم را ناوردا نگه می دارد. از بررسی این تقارن ها در چارچوب فرمول بندی کانونیک، درمی یابیم که هر تبدیل تقارنی دارای مولدهایی است. از این رو برای بررسی خواص گروه تقارنی نیاز به مطالعه ی جبر مولدهای تبدیل در چارچوب فرمول بندی کانونیک داریم. به این ترتیب برای مطالعه ی گروه تقارنی در چارچوب فرمول بندی کانونیک، لازم است که تابع مولد تبدیلات پیمانه ای این سیستم ها را تعیین کنیم. برای این منظور روش های متفاوتی برای تعیین تابع مولد تبدیلات پیمانه ای توسط فیزیکدانان ارائه شده است. اما به طور کلی، یک روش منسجم و ثابت برای تعیین تابع مولد، که برای تمامی سیستم های مقید دارای تقارن پیمانه ای برقرار باشد، ارائه نشده است. تنها مطلبی که می توان درباره ی تابع مولد هر سیستم فیزیکی به طور یقین گفت، همان فرض دیراک است که بیان می کند، قیود نوع اول همگی مولدهای تبدیل پیمانه ای هستند. در سال های اخیر، توجه دانشمندان به مدل های هم وردای عام مانند ریسمان پولیاکوف و کنش هیلبرت - انیشتین در d+1 بعد و مدل های ناوردای عام مانند گرانش جرم دار توپولیک tmg و گرانش هوراوا، و بررسی تقارن های این مدل ها بسیار زیاد شده است. این که چه ارتباطی بین تقارن های سیستم در چارچوب فرمول بندی لاگرانژی و مولدهای این تبدیلات در چارچوب فرمول بندی کانونیک وجود دارد، مسئله ای است که تاکنون جواب روشنی برای آن یافت نشده است. برای مدل های دارای تقارن عام از جمله ریسمان پولیاکوف تقارن اصلی بازپرمایه بندی است. یعنی تحت تغییر مختصات ریسمان کنش کل ناوردا خواهد ماند. اما مشکلی که در این گونه سیستم ها وجود دارد این است که مطالعه ی این تبدیل در فرمول بندی هامیلتونی با دشواری همراه است. با توجه به این مطلب که نظریه ریسمان ها به عنوان کاندیدایی برای وحدت نیروها بسیار مورد توجه است و از آن جایی که ریسمان پولیاکوف نقطه آغازین نظریه ریسمان ها است، ما را بر آن داشت که در این رساله به بررسی ساختار گروه تقارنی ریسمان پولیاکوف بپردازیم و تابع مولد تبدیلات پیمانه ای ریسمان پولیاکوف را در چارچوب فرمول بندی کانونیک تعیین کنیم. با مطالعه ی ساختار قیدی ریسمان پولیاکوف می توان مولدهای تبدیل بازپرمایه بندی که یک تبدیل تقارنی است را در چارچوب فرمول بندی کانونیک به دست آوریم. به این منظور ابتدا ساختار قیدی و تقارن های ریسمان پولیاکوف را به طور کامل بررسی خواهیم کرد. سپس وردش متغیرهای فضای مماس را تحت تبدیل بازپرمایه بندی به دست می آوریم. با استفاده از رهیافتی که برای تعیین تابع مولد ارائه خواهیم داد، تابع مولد ریسمان پولیاکوف را در چارچوب فرمول بندی کانونیک تعیین خواهیم کرد. نهایتاً این بار با تابع مولدی که برای ریسمان پولیاکوف به دست آوردیم وردش متغیرهای فضای مماس را محاسبه می کنیم. بعد از انجام تمامی این مراحل وردش متغیرهای مذکور که از طریق دو روش متفاوت تعیین شده بودند، با یکدیگر مقایسه خواهیم کرد. نتیجه ی مورد نظر ما برابر بودن وردش ها از دو روش متفاوت است و این مطلب بدان معنی است که ما توانستیم تابع مولدی به دست آوریم که می توان از روی آن خواص گروه تقارنی ریسمان پولیاکوف را در چارچوب فرمول بندی کانونیک مورد مطالعه قرار داد.